Matemática - Aula 22 - Área de Figuras Planas

Algumas regiões planas se assemelham a polígonos conhecidos como triângulo, quadrado, retângulo, losango, paralelogramo, trapézio, pentágono, hexágono, entre outros, onde cada um possui uma fórmula específica para determinar a área de sua superfície. Mas algumas regiões possuem formatos não definidos pela Matemática, são as formas irregulares. Nesse caso, precisamos tentar decompor a figura em partes conhecidas, calculando individualmente a área de cada uma, as quais serão somadas constituindo a área total da região. Observe a área de uma região irregular:

Decomposição da área em figuras conhecidas:

A área da região é constituída de um retângulo, um triângulo e um trapézio. Agora basta determinarmos as áreas de cada figura.

Área 1 – Retângulo 
O retângulo referente a área 1 possui as seguintes dimensões:

Sua área é calculada multiplicando o comprimento pela largura:
A = 24 * 12
A = 288 m²

Área 2 – Triângulo

A área de uma região triangular é calculada através da metade da multiplicação da base pela altura.

A = (10*12) / 2
A = 120 / 2
A = 60 m²


Área 3 – Trapézio

A área de um trapézio é dada pela seguinte expressão:  , onde:
B: base maior
b: base menor
h: altura

Então:

A área total da região é dada pelo somatório das áreas das regiões 1, 2 e 3:

Área total = 288m² + 60m² + 88m²
Área total = 436 m²

Matemática - Aula 21 - Pontos Notáveis de triângulos

O estudo da trigonometria é fundamentado nas relações existentes entre ângulos e medidas. No triângulo retângulo, essas relações são constantemente trabalhadas e alguns ângulos presentes nesse tipo de triângulo são usados com maior frequência, eles recebem o nome de ângulos notáveis e seus valores são de 30º, 45º e 60º.

Vamos relembrar as relações trigonométricas existentes no triângulo retângulo: seno, cosseno e tangente.

Para demonstrarmos as relações trigonométricas no triângulo retângulo dos ângulos 30°e 60°, é preciso obter um triângulo que tenha esses dois ângulos.

Observe o triângulo equilátero (todos os ângulos internos são iguais a 60º) ABC de lado igual a x, é preciso calcular o valor da sua altura. Traçar sua altura é o mesmo que traçar a bissetriz do ângulo A e a mediatriz da base BC.

Para calcular a sua altura, basta aplicar o Teorema de Pitágoras no triângulo AHC:

Com o valor da altura em função de x e utilizando o triângulo retângulo AHC, podemos determinar as relações trigonométricas dos ângulos de 30° e de 60º no triângulo AHC.

Como o triângulo equilátero não possui ângulo de 45°, precisamos traçar adiagonal do quadrado formando dois triângulos retângulos, a diagonal é uma bissetriz, ou seja, divide o ângulo de 90º em dois de 45º. Veja como:

Dado o quadrado ABCD de lado x e diagonal d.

Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo ABD, iremos descobrir um valor para a diagonal (d) em função de x.

Assim, com o valor da diagonal é possível calcular o valor das relações trigonométricas do triângulo retângulo ABD com o ângulo de 45°.

Com base em algumas deduções geométricas e cálculos matemáticos, conseguimos calcular as relações trigonométricas seno, cosseno e tangente dos ângulos de 30º, 45º e 60º do triângulo retângulo. A partir dos cálculos efetuados construímos a seguinte tabela de relações trigonométricas:

Física - Aula 10 - Mecânica - Impulso e quantidade de movimento

Impulso é a grandeza física que relaciona a força que atua sobre um corpo e o intervalo de tempo que ela atua sobre o mesmo. Imagine a situação ilustrada abaixo,onde se tem a atuação de uma força constante durante um determinado intervalo de tempo, Δt = t_f – t_i, sobre um bloco de massa m.

Força sobre um bloco de massa m

O produto dessa força constante pelo intervalo de tempo de aplicação da mesma é chamado de Impulso, e é representado pela letra I. O impulso é uma grandeza vetorial, possui módulo, direção e sentido. Em módulo, a equação que determina o impulso pode ser escrita da seguinte forma:

I = F. Δt

No Sistema Internacional de Unidades (SI), a unidade do impulso é o newton vezes segundo N.s.

Quantidade de Movimento

Imagine um corpo de massa m, que num determinado instante t possua velocidade V, por definição a quantidade de movimento é o produto entre essas duas grandezas, massa e velocidade. Como a velocidade é uma grandeza vetorial, por consequência a quantidade de movimento também é, e em módulo ela pode ser vista da seguinte forma:

Q = m. V

A unidade de quantidade de movimento no Sistema Internacional de Unidades é o kg. m/s.

Teorema Impulso – Quantidade de Movimento

O teorema do impulso – quantidade de movimento diz que o impulso da resultante das forças que atuam sobre um corpo, num determinado intervalo de tempo, é igual à variação da quantidade de movimento do corpo no mesmo intervalo de tempo, matematicamente fica:

I = Q_f - Q_i

Onde Q_f é a quantidade de movimento final e Q_i é a quantidade de movimento inicial.

Física - Aula 09 - Princípio da conservação da energia mecânica

Um bloco escorregando por uma superfície sem atrito sempre conserva a sua energia mecânica total em qualquer ponto da trajetória

O conceito de energia foi fundamental para o crescimento da ciência, em particular, da física. Sabemos que é possível transformar qualquer tipo de energia em outra, porém, é impossível “criar” ou “gastar” energia em sentido literal. É possível também transferir energia de um corpo para outro, como por exemplo, o Sol nos transfere parte de sua energia sob a forma de luz.

O princípio geral da conservação de energia diz que a energia total de um sistema isolado é sempre constante. Quando mencionamos a palavra isolado, estamos querendo dizer que o sistema não interage com outros sistemas, pois interações entre sistemas costumam ser efetuadas por meio de troca de energia entre eles.

A energia mecânica de um sistema no qual agem somente forças conservativas (forças que não modificam a energia mecânica do sistema) não se altera com o passar do tempo. Nesse caso, podemos dizer que a soma das energias cinética e potencial é constante seja qual for o intervalo de tempo.

Sendo assim, matematicamente, temos:

E=E_C1+E_P1=E_C2+E_P2 =constante

Em que:

E⟹energia mecânica

E_C⟹energia cinética

E_P⟹energia potencial

Vamos considerar a ilustração acima, em que temos um bloco deslizando sobre uma superfície curva. Caso não haja atrito entre o bloco e a superfície, podemos determinar a velocidade do bloco em qualquer ponto da trajetória, desde que saibamos a referente altura h do bloco em relação ao solo e a velocidade inicial do bloco.

De acordo com o princípio da conservação da energia mecânica, a soma das energias potencial gravitacional e cinética será, nesta situação, sempre constante.

Imaginando que a energia potencial no solo seja zero e o ponto inicial em h₁, então o bloco possui energia potencial dada por Ep₁ = Ep_{gravitacional} = m.g.h₁ e energia cinética m.v₁²/2. A energia mecânica total é a soma dessas duas parcelas.

No ponto h₂, a energia mecânica total também será E, mas com a energia potencial gravitacional e energia cinética diferente das iniciais. Apesar das parcelas serem diferentes, o princípio da conservação da energia mecânica nos assegura que sua soma é sempre a mesma.

Física - Aula 08 - Mecância - Trabalho e Potência

Potência 

Vamos considerar duas pessoas que realizam o mesmo trabalho. Se uma delas realiza o trabalho em um tempo menor do que a outra, ela tem que fazer um esforço maior, assim dizemos que ela desenvolveu uma potência maior em relação à outra. Outros exemplos:

• Um carro tem maior potência quando ele consegue atingir maior velocidade em um menor intervalo de tempo.

• Um aparelho de som é mais potente do que outro quando ele consegue converter mais energia elétrica em energia sonora em um intervalo de tempo menor.

Assim sendo, uma máquina é caracterizada pelo trabalho que ela pode realizar em um determinado tempo. A eficiência de uma máquina é medida através da relação do trabalho que ela realiza pelo tempo gasto para realizar o mesmo, definindo a potência.

Defini-se potência como sendo o tempo gasto para se realizar um determinado trabalho. Matematicamente, a relação entre trabalho e tempo fica da seguinte forma:

Em que P_ot é a potência média, Δt é o intervalo de tempo gasto para a realização do trabalho e τ é o trabalho realizado pelo corpo.

A unidade de potência no Sistema Internacional é o watt, representado pela letra W. Esta foi uma homenagem ao matemático e engenheiro escocês James Watt. As outras medidas de potência são o cavalo-vapor e o horse-power. O termo cavalo-vapor foi dado por James Watt (1736-1819), que inventou a primeiramáquina a vapor. James queria mostrar a quantos cavalos correspondia a máquina que ele produzira. Assim sendo, ele observou que um cavalo podia erguer uma carga de 75 kgf, ou seja, 75. 9,8 N=735 N a um metro de altura, em um segundo.

P= 735 N.1m/1s= 735 W

Feito tal observação, ele denominou que cavalo-vapor (cv) seria a potência de 735 W.

James Watt (1736-1819), engenheiro escocês, autor do princípio da máquina a vapor, fez uma máquina industrial na qual a energia era obtida por cavalos, rodas hidráulicas e moinhos de vento.

Rendimento
Em nosso dia a dia é muito comum falarmos em rendimento, seja na escola, no trabalho ou até mesmo quando queremos saber quantos quilômetros um automóvel faz com um litro de combustível. No estudo de Física, a noção de rendimento está ligada à energia e potência.

Todas as vezes que uma máquina realiza um trabalho, parte de sua energia total é dissipada, seja por motivos de falha ou até mesmo devido ao atrito. Lembrando que essa energia dissipada não é perdida, ela é transformada em outros tipos de energia (Lei de Lavoisier). Assim sendo, considera-se a seguinte relação para calcular o rendimento:

Onde:

η é o rendimento da máquina;
P_u é a potência utilizada pela máquina;
P_t é a potência total recebida pela máquina.

A potência total é a soma das potências útil e dissipada.

P_t= P_u + P_d

Por se tratar de um quociente de grandezas de mesma unidade, rendimento é uma grandeza adimensional, ou seja, ele não possui unidade. Rendimento é expresso em porcentagem e ele é sempre menor que um e maior que zero 0< η<1.

Física - Aula 07 - Mecância - Dinâmica - Força Resultante

A dinâmica é a parte da Física relacionada à mecânica que estuda osmovimentos e as causas que os produzem e os modificam.

A primeira publicação que se referia a essa teoria foi Principia de Isaac Newton, na qual ele explicou de forma completa sobre o movimento dos corpos. Essa teoria foi baseada nos estudos realizados por Galileu Galilei e Johannes Kepler.

Foi através dessa teoria que Newton estabeleceu as relações entre a massa do corpo e o seu movimento, conhecidas como as leis de Newton, ou seja, a dinâmica.

Baseadas na teoria newtoniana, conhecida como mecânica clássica, foram desenvolvidas outras teorias muito importantes para a humanidade, como a mecânica quântica de Max Planck e a mecânica relativística de Albert Einstein.

Força
É um agente físico causador de deformação (efeitos estáticos), ou acelerações (efeitos dinâmicos), nos corpos em que atua.
A força é uma grandeza vetorial, possui módulo, direção e sentido.

Força Resultante
É a soma vetorial de todas as forças componentes.

Princípios da dinâmica:

1ª Lei de Newton – Princípio da Inércia
Todo corpo permanece em seu estado de repouso ou movimento uniforme em linha reta, a menos que seja forçado a sair desse estado por forças imprimidas sobre ele.

2ª Lei de Newton – Princípio Fundamental da Dinâmica
A força resultante aplicada a um ponto material é igual ao produto de sua massa pela aceleração adquirida.

Representação matemática:
 

Onde:
F = força
m = massa
a = aceleração
Sua unidade no SI é Newton (N).

3ª Lei de Newton – Princípio da Ação e Reação
Sempre que um corpo A exerce uma força sobre um corpo B, este reage exercendo em A uma mesma força, de mesma intensidade e direção, porém de sentido contrário.

Tipos de Força:
Força Peso – é a força com que a Terra atrai os corpos;

Força Elástica – analisa a deformação de um corpo elástico;

Força Tração – é a troca de força entre o corpo e o fio;

Força de Atrito – força oposta a tendência do movimento.

Física - Aula 06 - Mecância - Dinâmica - Atrito e plano inclinado

Seja um bloco de massa “m” apoiado sobre uma rampa inclinada de um ângulo ? com relação ao plano horizontal. Despreze os atritos.

Ao observarmos a figura acima, notamos que as forças que atuam sobre o corpo são:

P: Força peso = P = m.g
Onde: g = 9,8 m/s2
m = massa do corpo dada em kg.
F_N: Força de reação normal ao plano.

Ao desprezarmos os atritos notamos que o corpo desloca-se para baixo.

Analiticamente, decompomos a força peso em duas componentes:

P_x = componente do peso na direção do eixo x
P_y = componente do peso na direção do eixo y

Os módulos das componentes P_x e P_y são obtidos a partir das relações trigonométricas do triângulo retângulo, de acordo com o esquema abaixo:

Do triângulo retângulo temos que:

sen? é o cateto oposto (P_x) sobre a hipotenusa (P):

, e:

Para determinarmos a aceleração com que o bloco desce o plano inclinado, utilizaremos a Segunda Lei de Newton (FR = m.a)

P_x = F_R
P_x = m . a
P_x = P. sen?
m.a = P. sen?

Sendo o peso P = m.g, temos:

m.a = m.g. sen?

Simplificando-se as massas encontramos o valor da aceleração.

a = g .sen?

Note que a aceleração do corpo não depende de sua massa.

Na direção do eixo Y, temos:

F_N – P_y = m.a
Como a aceleração é nula na direção de y, a relação acima se anula:

F_N – P_y = 0Assim:

F_N = P_y    F_N = m.g.cos?

Exemplo: Um carro de massa 800 kg sobe uma rampa inclinada 30º com a horizontal. Desprezando-se as forças dissipativas e adotando g = 9,8 m/s2, calcule a aceleração do corpo e a força de reação normal ao plano.


Solução;

Calculando a aceleração do carro no plano inclinado

a = g. sen?

a = 9,8 . sen30º



Calculando agora o valor de N

F_N = m.g.cos?

Física - Aula 05 - Segunda Lei de Newton

Também chamada de Princípio Fundamental da Dinâmica, esta lei, a segunda de três, foi estabelecida por Sir Isaac Newton ao estudar a causa dos movimentos. Esse princípio consiste na afirmação de que um corpo em repouso necessita da aplicação de uma força para que possa se movimentar, e para que um corpo em movimento pare é necessária a aplicação de uma força. Um corpo adquire velocidade e sentido de acordo com a intensidade da aplicação da força. Ou seja, quanto maior for a força maior será a aceleração adquirida pelo corpo.

*Aceleração: é a taxa de variação da velocidade. No SI sua unidade é o metro por segundo ao quadrado (m/s²).

Newton estabeleceu esta lei para análise das causas dos movimentos, relacionando as forças que atuam sobre um corpo de massa m constante e a aceleração adquirida pelo mesmo devido à atuação das forças. Esta lei diz que:

A resultante das forças aplicadas sobre um ponto material é igual ao produto da sua massa pela aceleração adquirida:

Esta é uma igualdade vetorial na qual força e aceleração são grandezas vetoriais, as quais possuem módulo, direção e sentido. Esta equação significa que a força resultante (soma das forças que atuam sobre um determinado ponto material) produz uma aceleração com mesma direção e sentido da força resultante e suas intensidades são proporcionais.

*Ponto material: em mecânica esse é um termo utilizado para representar qualquer objeto em virtude do fenômeno, sem levar em consideração suas dimensões. Ou seja, as dimensões não afetam no resultado do fenômeno estudado.

No Sistema Internacional de Unidades (SI), a unidade de força é o newton (N) em homenagem a Newton. Porém, existem outras unidades de medida como o dina e o kgf.

Peso
Peso é a força gravitacional sofrida por um corpo nas vizinhanças de um planeta. É uma grandeza vetorial e, portanto, possui módulo, direção e sentido. Matematicamente temos:

P =m.g

Onde g é a aceleração da gravidade local.

A massa de um corpo não muda. O que muda é seu peso em razão da ação da força gravitacional, que pode ser maior ou menor, dependendo da localização do corpo.

Física - Aula 04 - Mecância - Movimento Circular Uniforme

O Movimento Circular Uniforme (MCU) acontece quando sua trajetória é umacircunferência e o módulo de sua velocidade permanece constante no decorrer do tempo.

Em nosso cotidiano é comum observarmos o movimento realizado porventiladores, rodas de carros e também pelo liquidificador. Todos esses são exemplos de aparelhos que utilizam o MCU.

Para analisarmos a parte teórica dessas utilizações precisamos relembrar os movimentos realizados por um móvel em trajetória retilínea.

A velocidade de um móvel constante e linear é representada pela equação a seguir, que indica a trajetória realizada pelo móvel.
 

Equação da velocidade linear e trajetória realizada por um móvel qualquer

Agora, quando a velocidade do móvel ocorre de forma curvilínea (curva) ou circular teremos a análise da velocidade angular.

Análise do movimento curvilíneo

É importante observar que quando a velocidade do móvel ocorre de forma curva, é necessário analisar, além da velocidade linear, um outro tipo de velocidade presente: a velocidade angular, que é exatamente o ângulo θ, formado imaginariamente entre a ligação dos pontos da trajetória.

A representação matemática do cálculo da velocidade angular é dada pela equação:
 

Onde:
ωm = velocidade angular do móvel
Δθ = deslocamento do móvel
Δt = tempo

Podemos concluir, então, que a velocidade angular do movimento circular uniforme é a relação existente entre o ângulo da trajetória descrito e o tempo gasto para se concluir essa descrição.

No sistema Internacional de Unidades, a velocidade angular é medida em radianos por segundo rad/s.

A junção dessas duas velocidades (linear e curvilínea) proporciona o nascimento de uma nova equação para se calcular o movimento circular.

Onde:
v = velocidade linear
ω = velocidade angular
R = raio

Dentro do estudo do movimento circular uniforme temos também a presença da aceleração centrípeta, ou seja, quando existe variação de velocidade existe aceleração.

A aceleração centrípeta está sempre direcionada para o centro da circunferência. Ela não altera o módulo da velocidade e sua representação matemática é dada pela equação:

Observe que a aceleração centrípeta analisa tanto a velocidade linear (v2), quanto a velocidade angular (ω2).

Física - Aula 03 - Aceleração Centrípeta

Os vetores velocidade e aceleração se alteram a cada instante

Você já deve ter escutado alguém ter relatado que um carro, que se envolveu em um acidente, saiu pela tangente em uma curva. Muitos são os fatores que podem fazer com que isso ocorra, o excesso de velocidade, a má conservação da pista, pneus carecas, chuva, etc.
Sempre que um corpo se movimenta em uma trajetória não retilínea, age sobre ele uma força cujo efeito é alterar sua direção, para que o móvel possa percorrer a trajetória curva. Essa força é chamada de força centrípeta.
Centrípeta significa literalmente: o que se dirige para o centro.

De acordo com a segunda Lei de Newton, essa força é capaz de proporcionar no corpo uma aceleração, sempre perpendicular ao vetor velocidade e orientada para o centro da curva. Essa aceleração é chamada de Aceleração Centrípeta. É ela que provoca a variação da direção do vetor velocidade.

O módulo da aceleração centrípeta é dado por:



Em que  é o vetor velocidade, que é tangente ao movimento, e R é o raio da trajetória circular.

Resumidamente, a aceleração centrípeta a_c indica apenas a direção da velocidade vetorial  .
Evidentemente, em movimentos retilíneos, a aceleração centrípeta é nula, pois não há mudança na direção da velocidade vetorial.
Para o movimento circular uniforme (MCU), a aceleração centrípeta está orientada para o centro da trajetória e tem módulo constante, pois a velocidade escalar v e o raio R são constantes.

Veja o exemplo a seguir:

Um carro move-se em uma pista circular com aceleração centrípeta igual a 2,5 m/s2. Determine a velocidade do carro, sabendo que o raio da pista é de 360 m.

SOLUÇÃO

Sabe-se, do problema, que:

a_c = 2,5 m/s2
R = 360m

A equação da aceleração centrípeta é:



Substituindo os valores de a_c e R na equação temos:



A direção e o sentido da velocidade, em um movimento circular, são alterados a cada instante, em razão da ação da aceleração centrípeta.