Retas Paralelas

o estudo analítico da reta não podemos deixar de falar das posições relativas entre retas. Dadas duas ou mais retas do plano, elas podem ser paralelas, concorrentes, coincidentes ou concorrentes perpendiculares. Abordaremos aqui oparalelismo de retas, assunto que sempre intrigou matemáticos de todas as épocas. Sabemos que duas retas são paralelas quando são equidistantes durante toda sua extensão, não possuindo nenhum ponto em comum.
Dessa forma, considere duas retas, r e s, no plano cartesiano.

As retas r e s são paralelas se, e somente se, possuírem a mesma inclinação ou seus coeficientes angulares forem iguais.
Utilizando a linguagem matemática:

Uma maneira mais simples de verificar se duas retas são paralelas é comparar seus coeficientes angulares: se forem iguais as retas são paralelas.

Exemplo 1. Verifique se as retas r: 2x + 3y – 7 = 0 e s: – 10x – 15y + 45 = 0 são paralelas.

Solução: Vamos determinar o coeficiente angular de cada uma das retas.

Reta r: 2x + 3y – 7 = 0
Para encontrar o coeficiente angular precisamos isolar y na equação geral da reta.

Faremos o mesmo processo para a reta s.

Reta s: – 10x – 15y + 45 = 0

Exemplo 2. Determine a equação geral da reta t que passa pelo ponto P(1, 2) e é paralela à reta r de equação 8x – 2y + 9 = 0.

Solução: para determinar a equação de uma reta basta conhecermos um ponto dessa reta e seu coeficiente angular. Já conhecemos o ponto P(1, 2) da reta procurada, agora resta encontrar o seu coeficiente angular. Como a reta t é paralela à reta s, elas possuem o mesmo coeficiente angular. Assim, utilizando aequação da reta r iremos determinar o coeficiente angular. Segue que:


Podemos afirmar que m_t=4. Conhecendo um ponto da reta e seu coeficiente angular, utilizamos a fórmula abaixo para determinar sua equação.

Posições Relativas

Posições entre ponto e circunferência no plano cartesiano

Dada uma circunferência no plano cartesiano de equação (x – a)² + (y – b)² = r², podemos dizer que o ponto em relação à circunferência dada é externo, interno ou tangente.

Ponto externo à circunferência (dPC > r)

(x – a)² + (y – b)² – r² > 0


Ponto tangente à circunferência (dPC = r)

(x – a)² + (y – b)² – r² = 0


Ponto interno à circunferência (dPC < r)

(x – a)² + (y – b)² – r² < 0

Posições entre reta e circunferência no plano cartesiano

Reta externa à circunferência

Reta tangente à circunferência

Reta secante à circunferência

Para determinarmos a distância entre uma reta e uma circunferência e, ao mesmo tempo, a posição relativa entre elas, aplicamos a seguinte expressão:

Reta externa à circunferência

Reta tangente à circunferência

Reta secante à circunferência

Exemplo 1

Dada a circunferência (x – 2)² + (y – 1)² = 25 e reta r: 8x + 6y – 72 = 0, verifique sua posição perante a circunferência e a distância entre elas.

Temos que a circunferência possui centro (2,1) e raio = 5.
A reta possui coeficientes: a = 8, b = 6 e c = -72.



Reta tangente à circunferência, pois o raio e a distância do centro da circunferência até a reta são iguais. 

Equação Reduzida da Circunferência

A equação reduzida da circunferência é dada pela expressão (x – a)² + (y – b)² = R². Para definir essa expressão vamos analisar a situação da ilustração a seguir:

Na ilustração, a circunferência possui centro C com coordenadas (a, b). O ponto genérico P possui as coordenadas (x, y). Vamos estabelecer a distância entre os pontos C e P utilizando a expressão matemática  , de acordo com as definições da Geometria Analítica.

De acordo com a ilustração gráfica, a distância entre os pontos C e P é considerado o raio da circunferência. Dessa forma, substituiremos D²C,P por R (raio), observe:

(x – a)² + (y – b)² = R²

Vamos determinar a equação reduzida da circunferência com centro C (2, –9) e raio 6.

(x – a)² + (y – b)² = R²
(x – 2)² + (y + 9)² = 6²
(x – 2)² + (y + 9)² = 36

(FEI–SP) Determine a equação da circunferência com centro no ponto C (2, 1) e que passa pelo ponto A (1, 1).

A distância entre o centro C e o ponto P corresponde à medida do raio.

(x – a)² + (y – b)² = R²
(x – 2)² + (y – 1)² = 1²(x – 2)² + (y – 1)² = 1

A equação da circunferência com centro C (2, 1) e que passa pelo ponto A (1, 1) possui como equação reduzida a expressão matemática (x – 2)² + (y – 1)² = 1. A equação geral surgirá do desenvolvimento da expressão reduzida (x – 2)² + (y – 1)² = 1, veja:

(x – 2)² + (y – 1)² = 1
x² – 4x + 4 + y² – 2y + 1 – 1 = 0
x² + y² – 4x – 2y + 4 = 0

Equação Normal da Circunferência

A circunferência é uma figura plana que pode ser representada no plano cartesiano, utilizando os estudos relacionados à Geometria Analítica, responsável pelo estabelecimento de relações entre a álgebra e a geometria. A circunferência pode ser representada no eixo de coordenadas através da utilização de equação. Uma dessas expressões matemáticas é chamada de equação normal da circunferência, a qual estudaremos a seguir.

A equação normal da circunferência é o resultado do desenvolvimento da equação reduzida. Veja:

(x – a)² + (y – b)² = R²

x² – 2ax + a² + y² – 2by + b² = R²

x² – 2ax + a² + y² – 2by + b² – R² = 0

x² + y² – 2ax – 2by + a² + b² – R² = 0

Vamos determinar a equação normal da circunferência de centro C (3, 9) e raio igual a 5.

(x – a)² + (y – b)² = R²
(x – 3)² + (y – 9)² = 5²
x² – 6x + 9 + y² – 18y + 81 – 25 = 0
x² + y² – 6x – 18y + 65 = 0

Também podemos utilizar a expressão x² + y² – 2ax – 2by + a² + b² – R² = 0, observe o desenvolvimento:

x² + y² – 2*3*x – 2*9*y + 3² + 9² – 5² = 0
x² + y² – 6x – 18y + 9 + 81 – 25 = 0
x² + y² – 6x – 18y + 65 = 0

A partir da equação normal da circunferência podemos estabelecer as coordenadas do centro e o raio. Vamos realizar uma comparação entre as equações x² + y² + 4x – 2y – 4 = 0 e x² + y² – 2ax – 2by + a² + b² – R² = 0. Observe os cálculos:

x² + y² + 4x – 2y – 4 = 0
x² + y² – 2ax – 2by + a² + b² – R² = 0

– 2a = 4 → a = – 2

– 2 = – 2b → b = 1

a² + b² – R² = – 4
(– 2)² + 12 – R² = – 4
4 + 1 – R² = – 4
– R² = – 4 – 4 – 1
– R² = – 9
R² = 9
√R² = √9
R = 3

Portanto, a equação normal da circunferência x² + y² + 4x – 2y – 4 = 0 terá centro C (–2, 1) e raio R = 3.

Equação Fundamental da Reta

Podemos determinar a equação fundamental de uma reta utilizando o ângulo formado pela reta com o eixo das abscissas (x) e as coordenadas de um ponto pertencente à reta. O coeficiente angular da reta, associado à coordenada do ponto, facilita a representação da equação da reta. Observe: 

Considerando uma reta r, o ponto C(x_C, y_C) pertencente à reta, seu coeficiente angular m e outro ponto D(x,y) genérico diferente de C. Com dois pontos pertencentes a reta r, um real e outro genérico, podemos calcular o seu coeficiente angular. 

 



m = y – y₀/x – x₀
m (x – x₀) = y – y₀ 
Portanto, a equação fundamental da reta será determinada pela seguinte expressão: 

y – y₀ = m (x – x₀) 
Exemplo 1 
Encontre a equação fundamental da reta r que possui o ponto A (0,-3/2) e coeficiente angular igual a m = – 2. 

y – y0 = m (x – x0)
y – (–3/2) = –2(x – 0)
y + 3/2 = –2x
2x + y + 3/2 = 0 

Exemplo 2 

Obtenha uma equação para a reta representada abaixo: 



Para determinarmos a equação fundamental da reta precisamos das coordenadas de um dos pontos pertencentes à reta e o valor do coeficiente angular. As coordenadas do ponto fornecido é (5,2), o coeficiente angular é a tangente do ângulo α. 

Iremos obter o valor de α com a diferença 180° – 135° = 45°, então α = 45º e a tg 45° = 1. 

y – y₀ = m (x – x₀)
y – 2 = 1 (x – 5)
y – 2 = x – 5
y – x + 3 = 0 

Exemplo 3 
Determine a equação da reta que passa pelo ponto de coordenadas (6; 2) e possui inclinação de 60º. 

Coeficiente angular é dado pela tangente do ângulo 60º: tg 60º = √3. 

y – y₀ = m (x – x₀)
y – 2 = √3 (x – 6)
y – 2 = √3x – 6√3
–√3x + y – 2 + 6√3 = 0 √3x – y + 2 – 6 √3 = 0 

Cálculo do coeficiente angular de uma reta

abemos que o valor do coeficiente angular de uma reta é a tangente do seu ângulo de inclinação. Através dessa informação podemos encontrar uma forma prática para obter o valor do coeficiente angular de uma reta sem precisar fazer uso do cálculo da tangente.

Vale ressaltar que se a reta for perpendicular ao eixo das abscissas, o coeficiente angular não existirá, pois não é possível determinar a tangente do ângulo de 90º.

Para representarmos uma reta não vertical em um plano cartesiano é preciso ter no mínimo dois pontos pertencentes a ela. Desse modo, considere uma reta s que passa pelos pontos A(xA, yA) e B(xB, yB) e possui um ângulo de inclinação com o eixo Ox igual a α.




Prolongado a semirreta que passa pelo ponto A e é paralela ao eixo Ox formaremos um triângulo retângulo no ponto C.

O ângulo A do triângulo BCA será igual ao da inclinação da reta, pois, peloTeorema de Tales, duas retas paralelas cortadas por uma transversal formam ângulos correspondentes iguais.

Levando em consideração o triângulo BCA e que o coeficiente angular é igual à tangente do ângulo de inclinação, teremos:
 

tgα = cateto oposto / cateto adjacente

tgα = y_B – y_A / x_B – x_A 

Portanto, o cálculo do coeficiente angular de uma reta pode ser feito pela razão da diferença entre dois pontos pertencentes a ela.

m = tgα = Δy / Δx 

Exemplo 1
Qual é o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A (–1,3) e B (–2,4)?

m = Δy/Δx 

m = 4 - 3 / (-2) - (-1)
m = 1 / -1
m = -1

Exemplo 2
O coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A (2,6) e B (4,14) é:

m = Δy/Δx 

m = 14 – 6/4 – 2
m = 8/2
m = 4

Exemplo 3 
O coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A (8,1) e B (9,6) é:

m = Δy/Δx

m = 6 – 1/9 – 8
m = 5/1
m = 5

Baricentro de um triângulo

O triângulo é uma figura geométrica muito importante, bastante utilizado na construção civil. No estudo analítico dos triângulos, quando conhecemos as coordenadas dos seus vértices, conseguimos determinar qual é o tipo de triângulo, qual a sua área e quais as coordenadas de seu baricentro. Faremos o estudo de como obter as coordenadas do baricentro do triângulo. Antes, precisamos definir o que é baricentro.

Considere o triângulo de vértices A, B e C abaixo. Os pontos M, N e P são os pontos médios dos lados AB, BC e AC, respectivamente. Os segmentos de reta MC, AN e PB são as medianas do triângulo. Denominamos baricentro (G) de um triângulo o ponto de encontro das medianas.
 

Agora vamos considerar um triângulo no plano cartesiano de vértices A(x_A, y_A), B(x_B, y_B) e C(x_C, y_C) e baricentro G(x_G, y_G).

As coordenadas do baricentro do triângulo ABC serão dadas por:


Exemplo 1. Determine as coordenadas do baricentro do triângulo de vértices A(2, 7), B(5, 3) e C(2, 2).

Solução: Vamos calcular as coordenadas do Baricentro do triângulo separadamente, para não haver confusão no entendimento da fórmula, que é muito simples.
Sabemos que:

Portanto, o baricentro do triângulo ABC tem coordenadas G(3, 4).

Exemplo 2. Determine as coordenadas do vértice B do triângulo ABC sabendo que seu baricentro tem coordenadas G(5, 8) e que os outros dois vértices são A(5, 8) e C(7, 6).

Solução: Como conhecemos as coordenadas do baricentro do triângulo e as coordenadas de dois vértices, vamos utilizar a fórmula para a determinação do baricentro para determinar as coordenadas de B.

Segue que:


Temos também que:

Portanto, o vértice B tem coordenadas B(3, 10).

Área de uma região triangular através do determinante

Bem, sabemos que os elementos que fundamentam a geometria analítica são os pontos e suas coordenadas, já que através destes podemos calcular distâncias, coeficientes angulares das retas e áreas de figuras planas.

Dentre os cálculos das áreas de figuras planas, existe uma expressão que determina a área de uma região triangular utilizando apenas as coordenadas dos vértices do triângulo.

Portanto, consideremos um triângulo com vértices de coordenadas quaisquer e assim vejamos como calcular a área desse triângulo apenas com as coordenadas dos seus vértices.

O parâmetro D é determinado pela matriz das coordenadas dos vértices do triângulo ABC.

Note que o parâmetro D é a mesma matriz determinante para verificar a condição de alinhamento de três pontos (ver Condição de alinhamento de três pontos).

Assim sendo, caso você verifique a área de um suposto triângulo e o determinante dê zero, saiba que na verdade esses três pontos não constituem um triângulo, pois estão alinhados (por isso a área é zero).

Uma observação importante em relação à expressão para o cálculo da área é quanto ao Parâmetro D estar em módulo, ou seja, usaremos o seu valor absoluto. Por se tratar de área, não devemos adotar um determinante negativo, pois isso resultará em uma área negativa e isso não existe.

Vejamos um exemplo para uma melhor compreensão:

“Determine a área da região triangular que tem como vértices os pontos A (4,0), B (0,0) e C (2,2)”.

Portanto, a área da região triangular do triângulo ABC é de 4 u.a (unidades de área).

Área de um Triângulo

Vamos determinar a área de um triângulo do ponto de vista da geometria analítica. Assim, considere três pontos quaisquer, não colineares, A (x_a, y_a), B (x_b, y_b) e C (x_c, y_c). Como esses pontos não são colineares, ou seja, não estão numa mesma reta, eles determinam um triângulo. A área desse triângulo será dada por:

Observe que a área será metade do módulo do determinante das coordenadas dos pontos A, B e C.
 

Exemplo 1. Calcule a área do triângulo de vértices A (4 , 0), B (0 , 0) e C (0 , 6).
Solução: Primeiro passo é fazer o cálculo do determinante das coordenadas dos pontos A, B e C. Teremos:

Assim, obtemos:

Portanto, a área do triângulo de vértices A (4 , 0), B (0 , 0) e C (0 , 6) é 12.

Exemplo 2. Determine a área do triângulo de vértices A (1, 3), B (2, 5) e C (-2,4).
Solução: Primeiro devemos realizar o cálculo do determinante.

Exemplo 3. Os pontos A (0, 0), B (0, -8) e C (x, 0) determinam um triângulo de área igual a 20. Encontre o valor de x.
Solução: Sabemos que a área do triângulo de vértices A, B e C é 20. Então,

Área da Região Triangular em Relação as Coordenadas dos Vértices

Podemos determinar a área de uma região triangular utilizando expressões relacionadas à Geometria Plana. Nas situações envolvendo coordenadas de posicionamento dos vértices de um triângulo, os cálculos são efetuados de acordo com o determinante de uma matriz quadrada, formada pelos valores das coordenadas dos pontos de posicionamento. A matriz construída deverá conter em uma de suas colunas os valores das abscissas e em outra, os valores das ordenadas dos pontos, uma terceira coluna será completada com valores iguais a 1.

A área do triângulo será determinada pela metade do valor da determinante. Veja:

Os vértices de um triângulo possuem as seguintes coordenadas de localização: A(–1, 1), B(4,0) e C(–3, 3). Vamos determinar a área dessa região triangular utilizando os princípios do determinante de uma matriz.

Aplicando Sarrus

Diagonal principal
(–1) * 0 * 1 = 0
1 * 1 * (–3) = –3
1 * 4 * 3 = 12

Soma: 0 – 3 + 12 = 9

Diagonal secundária
1 * 0 * (–3) = 0
(–1) * 1 * (3) = – 3
1 * 4 * 1 = 4

Soma: 0 – 3 + 4 = 1

D = (Somatório do produto dos elementos da diagonal principal) – (Somatório do produto dos elementos da diagonal secundária)

D = 9 – 1
D = 8

A = |D| / 2
A = 8 / 2
A = 4

A área da região triangular com os vértices localizados nos pontos A(–1, 1), B(4,0) e C(–3, 3) corresponde a 4 unidades de área.