Equação Normal da Circunferência

A circunferência é uma figura plana que pode ser representada no plano cartesiano, utilizando os estudos relacionados à Geometria Analítica, responsável pelo estabelecimento de relações entre a álgebra e a geometria. A circunferência pode ser representada no eixo de coordenadas através da utilização de equação. Uma dessas expressões matemáticas é chamada de equação normal da circunferência, a qual estudaremos a seguir.

A equação normal da circunferência é o resultado do desenvolvimento da equação reduzida. Veja:

(x – a)² + (y – b)² = R²

x² – 2ax + a² + y² – 2by + b² = R²

x² – 2ax + a² + y² – 2by + b² – R² = 0

x² + y² – 2ax – 2by + a² + b² – R² = 0

Vamos determinar a equação normal da circunferência de centro C (3, 9) e raio igual a 5.

(x – a)² + (y – b)² = R²
(x – 3)² + (y – 9)² = 5²
x² – 6x + 9 + y² – 18y + 81 – 25 = 0
x² + y² – 6x – 18y + 65 = 0

Também podemos utilizar a expressão x² + y² – 2ax – 2by + a² + b² – R² = 0, observe o desenvolvimento:

x² + y² – 2*3*x – 2*9*y + 3² + 9² – 5² = 0
x² + y² – 6x – 18y + 9 + 81 – 25 = 0
x² + y² – 6x – 18y + 65 = 0

A partir da equação normal da circunferência podemos estabelecer as coordenadas do centro e o raio. Vamos realizar uma comparação entre as equações x² + y² + 4x – 2y – 4 = 0 e x² + y² – 2ax – 2by + a² + b² – R² = 0. Observe os cálculos:

x² + y² + 4x – 2y – 4 = 0
x² + y² – 2ax – 2by + a² + b² – R² = 0

– 2a = 4 → a = – 2

– 2 = – 2b → b = 1

a² + b² – R² = – 4
(– 2)² + 12 – R² = – 4
4 + 1 – R² = – 4
– R² = – 4 – 4 – 1
– R² = – 9
R² = 9
√R² = √9
R = 3

Portanto, a equação normal da circunferência x² + y² + 4x – 2y – 4 = 0 terá centro C (–2, 1) e raio R = 3.