Produtos Notáveis

Produtos notáveis são produtos de expressões algébricas que possuem uma forma geral para sua resolução.
Os produtos abaixo são exemplos, em forma geral, de produtos notáveis:

(a + b) . (a + b) = (a + b)²   Quadrado da soma

(a – b) . (a – b) = (a – b)²   Quadrado da diferença

(a + b) . (a – b)   Produto da soma pela diferença

(x + p) . (x + q)   Produto do tipo

(a + b) . (a + b) . (a + b) = (a + b)³  Cubo da soma

(a – b) . (a – b) . (a – b) = (a – b)³  Cubo da diferença

Produtos notáveis são multiplicações entre binômios muito frequentes na Matemática, envolvendo cálculos algébricos. Os produtos entre binômios mais conhecidos são:

Quadrado da soma entre dois termos(a + b)² = a² + 2ab + b²

Quadrado da diferença entre dois termos.
(a – b)² = a² – 2ab + b²

Cubo da soma entre dois termos.
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Cubo da diferença entre dois termos.
(a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³

Produto da soma pela diferença.
(a + b) * (a – b) = a² – b²

Os casos especiais são os seguintes:

Quadrado da soma entre três termos
(a + b + c)² = (a + b + c) * (a + b + c) = a² + ab + ac + ab + b² + bc + ac + bc + c² =a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc

Nesse caso temos a possibilidade de aplicar a seguinte regra prática:

O somatório entre,

O quadrado do 1º termo.
O quadrado do 2º termo.
O quadrado do 3º termo.
O dobro do 1º termo pelo 2º termo.
O dobro do 1º termo pelo 3º termo
O dobro do 2º termo pelo 3º termo.

As seguintes multiplicações também são consideradas casos especiais, pois a resolução pode ser realizada aplicando uma regra prática.

(a + b) * (a² – ab + b²) = a³ – a²b + ab² + a²b – ab² + b³ = a³ + b³

(a – b) * (a² + ab + b²) = a³ + a²b + ab² – a²b – ab² – b³ = a³ – b³

A criação de novas regras práticas relacionadas ao desenvolvimento de determinados produtos notáveis é um ramo aberto na Matemática. Dessa forma, ao manipular os termos algébricos podemos criar novas regras práticas na resolução de situações algébricas.