Física Fácil

Matemática - Aula 31 - Sistemas Lineares

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Equação Linear
É toda equação que possui variáveis e apresenta na seguinte forma a1x1 + a2x2 + a3x3 + ...+ anxn = b, em que a1, a2, a3, ....., são os coeficientes reais e o termo independente e representado pelo número real b.
Exemplos:

x + y + z = 20
2x –3y + 5z = 6
4x + 5y – 10z = –3
x – 4y – z = 0


Sistema Linear
Um conjunto de p equações lineares com variáveis x1, x2, x3,....,xn formam um sistema linear com p equações e n incógnitas.
Exemplos:

x + y = 3
x – y = 1
Sistema linear com duas equações e duas variáveis.

2x + 5y – 6z = 24
x – y + 10z = 30
Sistema linear com duas equações e três variáveis.

x + 10y – 12z = 120
4x – 2y – 20z = 60
–x + y + 5z = 10
Sistema linear com três equações e três variáveis.

x – y – z + w = 10
2x + 3y + 5z – 2w = 21
4x – 2y – z + w = 16
Sistema linear com três equações e quatro variáveis.


Solução de um sistema linear
Dado o sistema:
x + y = 3
x – y = 1 

Dizemos que a solução deste sistema é o par ordenado (2,1), pois ele satisfaz as duas equações do sistema linear. Observe:
x = 2 e y = 1

2 + 1 = 3 3 = 3
2 – 1 = 1 1 = 1


Dado o sistema:
2x + 2y + 2z = 20
2x – 2y + 2z = 8
2x – 2y – 2z = 0
Podemos dizer que o trio ordenado (5, 3, 2) é solução do sistema, pois ele satisfaz as três equações do sistema linear. Veja:

2 * 5 + 2 * 3 + 2 * 2 = 20      10 + 6 + 4 = 20     20 = 20
2 * 5 – 2 * 3 + 2 * 2 = 8        10 – 6 + 4 = 8        8 = 8
2 * 5 – 2 * 3 – 2 * 2 = 0         10 – 6 – 4 = 0       0 = 0


Classificação de um sistema linear 

Todo sistema linear é classificado de acordo com o número de soluções apresentadas por ele.

SPD – Sistema Possível e Determinado – possui apenas uma solução.
SPI – Sistema Possível e Indeterminado – possui infinitas soluções.
SI – Sistema Impossível – não possui solução.

Associando um sistema linear a uma matriz

Um sistema linear pode estar associado a uma matriz, os seus coeficientes ocuparão as linhas e as colunas da matriz, respectivamente. Veja exemplo 1:
O sistema:
x + y = 3
x – y = 1
pode ser representado por duas matrizes, uma completa e outra incompleta.
Matriz completa

1	1	3
1	-1	1

Matriz incompleta

1	1
1	-1

Exemplo 2
x + 10y – 12z = 120
4x – 2y – 20z = 60
–x + y + 5z = 10

Matriz completa
 

1	10	-12	120
4	-2	-20	60
-1	1	5	10

Matriz incompleta

1	10	-12
4	-2	-20
-1	1	5

 

Obs.: O sistema também pode possuir uma representação matricial. Observe o sistema de equações lineares:
x + 10y – 12z = 120
4x – 2y – 20z = 60
–x + y + 5z = 10

Equação matricial do sistema:

Matemática - Aula 30 - Determinantes

Determinantes

As propriedades envolvendo determinantes facilitam o cálculo de seu valor em matrizes que se enquadram nessas condições. Observe as propriedades:

1ª propriedade

Ao observar uma matriz e verificar que os elementos de uma linha ou uma coluna são iguais a zero, o valor do seu determinante também será zero.

2ª propriedade 
Caso ocorra igualdade de elementos entre duas linhas ou duas colunas, o determinante dessa matriz será nulo.

3ª propriedade 
Verificadas em uma matriz duas linhas ou duas colunas com elementos de valores proporcionais, o determinante terá valor igual à zero. Observe a propriedade entre a 1ª e a 2ª linha.

4ª propriedade 
Ao multiplicarmos todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz por um número K, o seu determinante fica multiplicado por K.

Os elementos da 1ª linha de P foram multiplicados por 2, então: det P’ = 2 * det P

5ª propriedade 
Caso uma matriz quadrada A seja multiplicada por um número real k, seu determinante passa a ser multiplicado por kⁿ.

det (k*A) = kⁿ * det A 


6ª propriedade

O valor do determinante de uma matriz R é igual ao determinante da matriz da transposta de R, det R = det (R^t).

det R = ps -- qr

det Rt = ps – rq


7ª propriedade 
Ao trocarmos duas linhas ou duas colunas de posição de uma matriz, o valor do seu determinante passa a ser oposto ao determinante da anterior.



8ª propriedade

O determinante de uma matriz triangular é igual à multiplicação dos elementos da diagonal principal.
Lembre-se que em uma matriz triangular, os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são iguais a zero.

9ª propriedade 
Considerando duas matrizes quadradas de ordem iguais e AB matriz produto, temos que: det (AB) = (det A) * (det B), conforme teorema de Binet.


10ª propriedade

Ao multiplicarmos todos os elementos de uma linha ou de uma coluna pelo mesmo número e adicionarmos os resultados aos elementos correspondentes de outra linha ou coluna, formamos a matriz B, onde ocorre a seguinte igualdade: det A = det B. Esse teorema é atribuído a Jacobi. 

Matemática - Aula 29 - Matrizes e Determinantes

Matrizes e Determinantes

As matrizes são estruturas matemáticas organizadas na forma de tabela com linhas e colunas, utilizadas na organização de dados e informações. Nos assuntos ligados à álgebra, as matrizes são responsáveis pela solução de sistemas lineares. Elas podem ser construídas com m linhas e n colunas, observe:

, matriz de ordem 3 x 1. (3 linhas e 1 coluna).

, matriz de ordem 3 x 2. (3 linhas e 2 colunas)

, matriz de ordem 4 x 2. (4 linhas e 2 colunas)

, matriz de ordem 1 x 4. (1 linha e 4 colunas)

As matrizes com número de linhas e colunas iguais são denominadas matrizes quadradas. Observe:

, matriz quadrada de ordem 2 x 2.

, matriz quadrada de ordem 3 x 3.

, matriz quadrada de ordem 4 x 4.

Na matriz  , temos que cada elemento ocupa seu espaço de acordo com a seguinte localização:

O elemento 2 está na 1ª linha e 1ª coluna.
O elemento 5 está na 1ª linha e 2ª coluna.
O elemento 7 está na 2ª linha e 1ª coluna.
O elemento –9 está na 2ª linha e 2ª coluna.

Portanto, temos:

aij, onde i = linhas e j = colunas.
a₁₁ = 2
a₁₂ = 5
a₂₁ = 7
a ₂₂ = –9

Podemos construir uma matriz de acordo com uma lei de formação baseada em situações variadas. Por exemplo, vamos construir uma matriz de ordem 3 x 3, seguindo a orientação a_ij = 3i + 2j.

 Vamos escrever a matriz B dada por (a_ij)4x4, de modo que i + j, se i = j e i – j, se i ≠ j.

Matemática - Aula 28 - Matrizes

Matrizes

Um fato muito discutido é a utilização dos conceitos de matrizes e determinantes nas provas de vestibulares. Quanto a isto, é necessário estudar e compreender de quais maneiras esses conceitos costumam ser cobrados nas diversas provas de vestibular.

A parte de matrizes é bem extensa, pois possui um sistema aritmético diferenciado e particular entre outros novos conceitos que são utilizados apenas no grupo numérico das matrizes. Portanto, é importante que se compreenda os conceitos aritméticos (adição, subtração, multiplicação), consequências provindas do sistema aritmético (matriz transposta, matriz inversa) e os determinantes de matrizes, conceitos estes que podem ser estudados na seção Matriz e Determinante.

Algo que se observa nas provas de vestibulares é que as matrizes são minoria nas questões e quando aparecem no vestibular são cobrados, em uma só questão, quase todos os conceitos sobre matrizes. Nesse artigo, mostraremos como essas questões são abordadas e veremos como relacionar os conceitos de matrizes em uma só questão.

Devemos nos atentar para a concepção das questões que são abordadas quanto a sua interdisciplinaridade que corrobora com a aplicação em um contexto real. Portanto, iremos nos deparar com questões que necessitam de uma interpretação e compreensão do enunciado de modo que consigamos determinar o que deve ser respondido e quais informações o enunciado oferece.

Questão 1)  (Faap-SP) Uma montadora produz três modelos de veículos, A, B e C. Neles podem ser instalados dois tipos de air bags, D e E. A matriz [air bag modelo] mostra a quantidade de unidades de air bags instaladas:

Numa determinada semana foram produzidas as seguintes quantidades de veículos, dadas pela matriz [modelo-quantidade]:

a) 300    c) 150    e) 100
b) 200    d) 0

Resolução: A questão envolve três matrizes, uma matriz que relaciona a quantidade de air bags em cada um dos três modelos produzidos pela fábrica, a matriz que informa a quantidade de carros produzidos por semana, e a matriz produto dessas duas matrizes citadas.

O objetivo final é determinar a quantidade de carros do modelo C, montados durante a semana. Esta quantidade está expressa pela incógnita x. Para determinar o valor da incógnita x, devemos montar essa equação matricial.

Para praticidade na notação, denotaremos da seguinte forma as matrizes:

Sendo assim, temos a seguinte expressão:

Nesse momento, devemos compreender os conceitos de equações matriciais – estes conceitos necessitam da compreensão das operações aritméticas das matrizes e de igualdade de matrizes.

Note que a primeira linha corresponde à quantidade de carros produzidos com o air bag do tipo D; e a segunda linha, à quantidade de carros produzidos com air bagdo tipo E. Contudo, veja que nenhum carro do modelo C foi fabricado utilizando oair bag D. Com isso, basta determinarmos a quantidade de carros do modelo C com o air bag E, ou seja, utilizaremos a segunda linha.

2) (UEL – PR) Uma das formas de se enviar uma mensagem secreta é por meio de códigos matemáticos, seguindo os passos:
1. Tanto o destinatário quanto o remetente possuem uma matriz chave C;

2. O destinatário recebe do remetente uma matriz P, tal que MC=P, onde M é a matriz mensagem a ser decodificada;

3. Cada número da matriz M corresponde a uma letra do alfabeto: 1=a, 2=b, 3=c, ..., 23=z;

4. Consideremos o alfabeto com 23 letras, excluindo as letras, k, w e y.

5. O número zero corresponde ao ponto de exclamação.

6. A mensagem é lida, encontrando a matriz M, fazendo correspondência número/letra e ordenando as letras por linhas da matriz conforme segue: m₁₁m₁₂m₁₃m₂₁m₂₂m₂₃m₃₁m₃₂m₃₃.

Considere as matrizes:

Com base nos conhecimentos e nas informações descritas, assinale a alternativa que apresenta a mensagem que foi enviada por meio da matriz M.

a) Boasorte!   b) Boaprova!   c) Boatarde!
d) Ajudeme!   e) Socorro!

Resolução: Devemos nos atentar para a equação matricial que codifica/decodifica a mensagem. MC=P, ela será a base para os nossos cálculos.

As matrizes C e P foram informadas, a matriz M é o que queremos descobrir, portanto determinaremos seus elementos como incógnitas iguais ao que foi informado no sexto passo dado no enunciado.

Igualando os elementos das duas matrizes conseguiremos obter os valores dos elementos da matriz M.

m₁₁=2; m₁₂= 14;  m₁₃=1;  m₂₁=18; m₂₂=14; m₂₃=17; m₃₁=19;  m₃₂=5;  m₃₃=0.

Transpondo para letras obtemos: Boasorte!

Veja que, por mais que sejam muitos os conceitos abordados, necessita-se de atenção nas operações entre matrizes, pois são diversas operações ao mesmo tempo. Tendo cuidado e organização, questões envolvendo matrizes não serão um empecilho no seu vestibular.

Matemática - Aula 27 - Relações Trigonométricas nos triângulos quaisquer

Relações Trigonométricas nos triângulos quaisquer

Uma importante relação existente na Trigonometria foi elaborada por Pitágoras, com base no triângulo retângulo (triângulo com catetos formando um ângulo reto). Veja a relação que ficou conhecida como “Teorema de Pitágoras”:

AB = cateto
AC = cateto
BC = hipotenusa

med(AB)² + med(AC)² = med(BC)² 

No círculo trigonométrico, o eixo horizontal é representado pelo seno e o eixo vertical, pelo cosseno. A determinarmos um ponto qualquer sobre a extremidade do círculo, temos sua projeção no eixo dos senos e dos cossenos. Ao traçarmos um segmento de reta do eixo das origens do círculo até o ponto determinado, formamos um ângulo Ө, como mostram os esquemas a seguir:

Com base no triângulo retângulo formado, vamos aplicar os fundamentos do teorema de Pitágoras:

sen² Ө + cos² Ө = 1 


Aplicação da relação fundamental

Exemplo 1: 
Considerando que , com  , determine cos x.

Exemplo 2:

Considerando que  , com  , determine sen x.

Matemática - Aula 26 - Arcos

Arcos

Matemática - Aula 25 - Funções Trigonométrica no ciclo trigonométrico II

Funções Trigonométrica no ciclo trigonométrico II

Matemática - Aula 24 - Funções trigonométricas no ciclo trigonométrico I

Funções trigonométricas no ciclo Trigonométrico I

No círculo trigonométrico temos arcos que realizam mais de uma volta, considerando que o intervalo do círculo é [0, 2π], por exemplo, o arco dado pelo número real x = 5π/2, quando desmembrado temos: x = 5π/2 = 4π/2 + π/2 = 2π + π/2. Note que o arco dá uma volta completa (2π = 2*180º = 360º), mais um percurso de 1/4 de volta (π/2 = 180º/2 = 90º). Podemos associar o número x = 5π/2 ao ponto P da figura, o qual é imagem também do número π/2. Existem outros infinitos números reais maiores que 2π e que possuem a mesma imagem. Observe:

9π/2 = 2 voltas e 1/4 de volta
13π/2 = 3 voltas e 1/4 de volta
17π/2 = 4 voltas e 1/4 de volta

Podemos generalizar e escrever todos os arcos com essa característica na seguinte forma: π/2 + 2kπ, onde k Є Z. E de uma forma geral abrangendo todos os arcos com mais de uma volta, x + 2kπ.

Estes arcos são representados no plano cartesiano através de funções circulares como: função seno, função cosseno e função tangente.

Características da função seno

É uma função f : R → R que associa a cada número real x o seu seno, então f(x) = senx. O sinal da função f(x) = senx é positivo no 1º e 2º quadrantes, e é negativo quando x pertence ao 3º e 4º quadrantes. Observe:

Gráfico da função f(x) = senx

Características da função cosseno
É uma função f : R → R que associa a cada número real x o seu cosseno, então f(x) = cosx.  O sinal da função f(x) = cosx é positivo no 1º e 4º quadrantes, e é negativo quando x pertence ao 2º e 3º quadrantes. Observe:

Gráfico da função f(x) = cosx

Características da função tangente 
É uma função f : R → R que associa a cada número real x a sua tangente, então f(x) = tgx.
Sinais da função tangente:

 Valores positivos nos quadrantes ímpares.
 Valores negativos nos quadrantes pares.
 Crescente em cada valor.

Gráfico da função tangente

Matemática - Aula 23 - Funções trigonométricas

As relações trigonométricas se restringem somente a situações que envolvem triângulos retângulos.
Na situação abaixo, PÔR é um triângulo obtusângulo, então não podemos utilizar das relações trigonométricas conhecidas. Para situações como essa, utilizamos a lei dos senos ou a lei dos cossenos, de acordo com o mais conveniente.
Importante sabermos que:
sen x = sen (180º - x)
cos x = - cos (180º - x)
 

Lei dos senos



Resolvendo a situação da figura 1, temos:

Iremos aplicar a lei dos senos



Pela tabela de razões trigonométricas:



Lei dos cossenos

a² = b² + c² - 2*b*c*cosA
b² = a² + c² - 2*a*c*cosB
c² = a² + b² - 2*a*b*cosC

Exemplo

Analise o esquema abaixo:
Se optarmos pelo bombeamento da água direto para a casa, quantos metros de cano seriam gastos?



x² = 50² + 80² - 2*50*80*cos60º
x² = 2500 + 6400 – 8000*0,5
x² = 8900 – 4000
x² = 4900
x = 70 m

Seriam gastos 70 metros de cano.